本文首先介紹了從傅里葉變換到小波變換的發(fā)展史，然后側(cè)重強調(diào)了小波變換的兩種作用——時頻分析和多分辨率分析，最后講了1下吉布斯效應等相干知識。

小波的發(fā)展歷史與驅(qū)動

傅里葉變換

FT（傅里葉變換），通過將信號分解成正余弦函數(shù)（把3角函數(shù)當作函數(shù)空間的基），將時域信號轉(zhuǎn)化為頻域信號。缺點是只適用于安穩(wěn)性信號，在頻域圖上不能取得對應頻率的時間信息。

由上圖可以看到，對頻域成份相同的信號，即便信號在時域上的散布不1樣，F(xiàn)FT變換后的頻域圖卻幾近完全1樣。所以說，F(xiàn)FT只可以取得1段信號整體上包括哪些成份，但是對各成份出現(xiàn)的時間并沒有所知。因此時域相差很大的信號FFT以后的頻域圖可能完全相同。

短時傅里葉變換

STFT（短時傅里葉變換）添加時域信息的方法是設(shè)置窗格，認為窗格內(nèi)的信號是安穩(wěn)信號，對窗格內(nèi)的信號分段進行FT分析。優(yōu)點是可以取得頻域信息的同時可以取得時域信息。缺點是窗格大小很難設(shè)置。

STFT的方法及效果以下圖：

STFT的窗格問題以下：

由上面的圖可以看到，窄窗口時間分辨率高、頻率分辨率低；寬窗口時間分辨率低，頻率分辨率高。對時變的非穩(wěn)態(tài)信號，高頻合適小窗口，低頻合適大窗口。可是STFT的窗口是固定的，因此需要尋求別的方法。

小波變換

WT（小波變換），將傅里葉變換的基給換了—— 將無窮長的3角函數(shù)基換成了有限長的會衰減的小波基，這樣不但可以獲得頻率，還可以定位到時間。

傅里葉變換

傅里葉變換，通過相互正交的3角函數(shù)信號和原信號在無窮上進行積分，積分越大表明信號越類似，包括該頻率的3角信號也就越多。

最后，每個f值對應了1個積分值，取得了頻率圖。

小波變換

小波變換的原理類似傅里葉變換，只是把3角函數(shù)基換成了小波基。

與傅里葉變換不同，小波變換有兩個變量：scale和translation。scale控制小波函數(shù)的收縮，其導數(shù)即為頻率，translation控制小標函數(shù)的平移，平移量對應時間。

通過信號的伸縮平移，可以得到某種重合情況，這樣積分也會得到1個極大值，不同的是，得到頻率成份的同時，還可以知道該頻率的時間位置。

最后得到的也是3維的圖象：

3種變換的對照

傅里葉變換，選擇正弦函數(shù)作為基函數(shù)，然后考察的到的展開式的性質(zhì)。
對小波分析，首先提出想要的性質(zhì)，然后推導出基函數(shù)。

小波變換

離散小波變換

連續(xù)小波變換

小波的多分辨率論述

小波的1個思想是在時間和頻率兩個方面提供有效的局部化，另外一個中心思想是多分辨率，即信號的分解是依照不同分辨率的細節(jié)1層1層進行的。

信號空間

L2(R)平方可積空間，如果函數(shù)g(t)是這個空間的元素，那末g(t)∈L2。

尺度函數(shù)

對2維函數(shù)族（構(gòu)成空間的基底）：

對所有k∈Z，可以張成空間：

如果f(t)∈Vj，那末f(t)可以表示為：

也就是說，f(t)可以通過Vj空間的1組基底表示出來，并且這個基底是可以設(shè)置的。j越大，分辨率越高。

多分辨率分析

低分辨率上的信號，不但可以通過該低分辨率上的信號基底組合，還可以通太高分辨率上信號的基底組合起來。

尺度函數(shù)φj,k(t)張成了V空間，不同V空間的差空間W由小波函數(shù)ψj,k(t 生活不易，碼農(nóng)辛苦
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