Evaluating a Learning Algorithm

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Desciding What to Try Next
先來看1個有正則的線性回歸例子：

當在預測時，有很大的誤差，該如何處理？

1.得到更多的訓練樣本
2.選取少許的特點
3.得到更多的特點項
4.加入特點多項式
5.減少正則項系數$\lambda$
6.增加正則項系數$\lambda$

很多人，在遇到預測結果其實不理想的時候，會憑著感覺在上面的6個方案當選取1個進行，但是常?；ㄙM了大量時間卻得不到改進。

因而引入了機器學習診斷，在后面會詳細論述，

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Evaluating a Hypothesis
怎樣用你學過的算法來評估假定函數 ,討論如何避免 過擬合和欠擬合的問題。
對這個簡單的例子，我們可以對假定函數$h_\theta{(x)}$ 進行畫圖 ，然后視察圖形趨勢， 但對特點變量不止1個的這類1般情況 ，還有像有很多特點變量的問題 想要通過畫出假定函數來進行視察，就會變得很難乃至是不可能實現。因此， 我們需要另外一種方法來評估我們的假定函數 。

以下，給出了1種評估假定函數的標準方法：

將這些數據集分為兩個部份：Training set 和 Test set, 即是 訓練集和測試集，
其中1種典型的分割方法是， 依照7:3的比例 ，將70%的數據作為訓練集， 30%的數據作為測試集 。

PS：如果數據集是有順序的話，那末最好還是隨機取樣。比如說上圖的例子中，如果price或size是按遞增或遞減排列的話，那末就應當隨機取樣本，而不是將前70%作為訓練集，后30%作為測試集了。

接下來 這里展現了1種典型的方法，你可以依照這些步驟訓練和測試你的學習算法 比如線性回歸算法 。首先 ，你需要對訓練集進行學習得到參數$\theta$， 具體來說就是最小化訓練誤差$J{(\theta)}$ ，這里的$J{(\theta)}$ 是使用那70%數據 來定義得到的，也就是僅僅是訓練數據 。接下來，你要計算出測試誤差，用$J_{test}(\theta)$來表示測試誤差, 那末你要做的就是 取出你之前從訓練集(Training set)中學習得到的參數$\theta$放在這里, 來計算你的測試誤差 $J_{test}{(\theta)}$

$J_{test}{(\theta)}$分為Linear Regreesion與Logistic Regression：

Linear Regreesion error:

Logistic Regression error:

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Model Selection and Train/Validation/Test sets

假設你想要肯定對某組數據， 最適合的多項式次數是幾次 ？怎樣選用正確的特點來構造學習算法 或假設你需要正確選擇 學習算法中的正則化參數λ ，你應當怎樣做呢？

Model Selection:

1.首先，建立d個model 假定（圖中有10個，d表示其id），分別在training set 上求使其training error最小的θ向量，那末得到d個$\theta$

2.然后，對這d個model假定，帶入$\theta$，在cross validation set上計算$J_{CV}$，即cv set error最小的1個model 作為 hypothesis，以下圖中$|J_{(CV)}|$在第4組中最小，便取d=4的假定。

PS: 其實d表示dimension，也就是維度，表示該hypothesis的最大polynomial項是d維的。
PS’: 1般地，$|J_{(CV)}|$是大于等于$|J_{(train)}|$的,| * |表示數量

選擇第1個模型($d=1$)， 然后求訓練誤差的最小值$J_{train}(\theta^{(1)})$ 這樣你就會得到 1個參數向量$\theta^{(1)}$ 然后你再選擇第2個模型($d=2$) 2次函數模型 ,進行一樣的進程 這樣你會得到另外一個參數向量 $\theta^{(2)}$，以此類推，直到第10個模型($d=10$),10次函數模型，訓練誤差最小值$J_{train}(\theta^{(10)})$。

接下來，我們需要做的是對所有這些模型，求出測試集誤差(Test Error),順次求出$J_{test}(\theta^{(1)})$~$J_{test}(\theta^{(10)})$當選取測試集誤差最小的作為多項式模型。

這里選擇的是5項式。那末問題來了，現在我想知道這個模型能不能很好地推行到新樣本，我們還能通過測試集來驗證1般性嗎？這看起來仿佛有點不公道，由于我們剛才是通過測試集跟假定擬合來得到多項式次數$d$這個參數，也就是說我們選擇了1個能夠最好地擬合測試集的參數$d$的值，因此，我們的參數向量$\theta^{(5)}$在擬合測試集時的結果，極可能致使1個比實際泛化誤差更完善的預測結果，也就是說泛化能力不足！

所以，為了解決這個問題，在模型選擇中，我們將數據集不單單是分為訓練集，測試集，而是分為訓練集，交叉驗證集和測試集{60%,20%,20%}的比例

1種典型的分割比例是 將60%的數據分給訓練集，大約20%的數據給交叉驗證集 ，最后20%給測試集。這個比例可以略微調劑，但這類分法是最典型的。

依照上面所述的步驟，這里不再贅述！ （詳情在上面Model Selection下面有解釋）

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Bias vs. Variance

當你運行1個學習算法時 ，如果這個算法的表現不理想， 那末多半是出現 兩種情況 ：要末是偏差比較大， 要末是方差比較大， 換句話說， 出現的情況要末是欠擬合， 要末是過擬合問題 。
那末這兩種情況， 哪一個和偏差有關， 哪一個和方差有關， 或是否是和兩個都有關 。弄清楚這1點非常重要 ，由于能判斷出現的情況， 是這兩種情況中的哪種， 實際上是1個很有效的唆使器， 指引著可以改進算法的 ，最有效的方法和途徑 。

1. bias指hypothesis與正確的hypothesis(如果有的話)的偏差.
2. varience是指各樣本與hypothesis的偏差和

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Diagnosing Bias vs. Variance
先來看1個整體概括：
高偏差(欠擬合) —-High bias（underfit）
平衡(正好)—Just right
高方差（過擬合）—-High variance（overfit）

從下圖，橫軸表示多項式的次數d，縱軸表示誤差error，我們可以看出，當d很小時，也就是處于underfit狀態時，$J_{train}(\theta)$與$J_{CV}(\theta)$差不多大小，隨著d增大，JCV 生活不易，碼農辛苦
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