POJ 3260 The Fewest Coins(多重背包+完全背包)
http://poj.org/problem?id=3260
題意:
John要去買價值為m的商品. 現(xiàn)在的貨幣系統(tǒng)有n種貨幣,對應(yīng)面值為val[1],val[2]…val[n]. 然后他身上每種貨幣有num[i]個. John必須付給售貨員>=m的金錢, 然后售貨員會用最少的貨幣數(shù)量找錢給John.
問你John的交易進(jìn)程中, 他給售貨員的貨幣數(shù)目+售貨員找錢給他的貨幣數(shù)目 的和最小值是多少?
分析:
本題與POJ 1252類型:
http://blog.csdn.net/u013480600/article/details/40454963
假定John付款總額為S時的貨幣數(shù)目為T1, 售貨員找錢 (S-m) 的貨幣數(shù)目為T2. 我們要使得T1+T2最小, 那末自然T1和T2也必須各自是最小的(即T1是當(dāng)John付款正好S時,最少需要多少張貨幣. T2是當(dāng)售貨員正好找錢S-m時,最少需要多少張貨幣.).
John給的錢肯定>=m, 但是到底最大多大呢? 如果我們直接求John的所有金錢總和, 然后再DP, 肯定超時. 這個up_bound (即john最多給售貨員的錢數(shù)) 可以簡單設(shè)置1個大數(shù)值便可. 網(wǎng)上有個證明(這個證明我也有點不明白):
John的付款數(shù)最多為maxv*maxv+m
證明以下:
如果John的付款數(shù)大于了maxv*maxv+m,即付硬幣的數(shù)目大于了maxv,根據(jù)鴿笼原理,最少有兩個的和對maxv取模的值相等(這個意思應(yīng)當(dāng)是:最少maxv+1個硬幣對maxv求余,然后余數(shù)屬于[0,maxv⑴]范圍,肯定有最少兩個硬幣的余數(shù)相同的),也就是說,這部份硬幣能夠用更少的maxv來代替(這句話我不理解)。證畢。
第1個問題是1個多重背包問題.
令dp[i][j]==x 表示當(dāng)John用前i種貨幣組成j元錢時, 最少需要x張貨幣.
初始化: dp全為INF(無窮大), 且dp[0][0]=0.
對每種貨幣, 我們分情況對它進(jìn)行處理:
1. 如果val[i]*num[i]>=up_bound時, 做1次完全背包.
2. 如果val[i]*num[i]<up_bound時, 做屢次01背包.
終究所求: dp[n][i] 其中i屬于[m, up_bound].
第2個問題是1個完全背包問題.
令dp2[i][j]==x 表示售貨員用前i種硬幣組成j元錢時, 最少需要x張貨幣.
初始化: dp2全為INF(無窮大), 且dp2[0][0]=0.
狀態(tài)轉(zhuǎn)移: dp2[i][j] = max( dp2[i⑴][j] , dp2[i][j-val[i]]+1 )
終究所求: dp2[n][i] 其中i屬于[m, up_bound].
終究合并問題1和問題2的解, 我們枚舉i從m到up_bound, 找出dp[i]+dp2[i-m]的最小值便可.
AC代碼: